Парадокс Зенона. Опровержение.

[aze1959]

Зенон Элейский принадлежал к той греческой философской школе, которая учила, что любое изменение в мире иллюзорно, а бытие едино и неизменно. Его парадокс (сформулированный в виде четырех апорий (от греч. aporia «безвыходность»), породивших с тех пор еще примерно сорок различных вариантов) показывает, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.

Большинству современных читателей парадокс Зенона знаком именно в приведенной выше формулировке (ее иногда называют дихотомией — от греч. dichotomia «разделение надвое»). Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

Апория, известная под названием Ахилл, еще более впечатляюща. Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.



Самый грубый и неизящный способ опровергнуть парадокс Зенона — это встать и пересечь комнату, обогнать черепаху. Но это никак не затронет хода его рассуждений. Вплоть до XVII века мыслители не могли найти ключ к опровержению его хитроумной логики. Проблема была разрешена только после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц изложили идею дифференциального исчисления, которое оперирует понятием предел; после того как стала понятна разница между разбиением пространства и разбиением времени; наконец, после того как научились обращаться с бесконечными и бесконечно малыми величинами.

Возьмем пример с пересечением комнаты. Действительно, в каждой точке пути вам надо пройти половину оставшегося пути, но только на это вам понадобится в два раза меньше времени. Чем меньший путь осталось пройти, тем меньше времени на это понадобится. Таким образом, вычисляя время, нужное для того, чтобы пересечь комнату, мы складываем бесконечное число бесконечно малых интервалов. Однако сумма всех этих интервалов не бесконечна (иначе пересечь комнату было бы невозможно), а равна некоторому конечному числу — и поэтому мы можем пересечь комнату за конечное время.

Такой ход доказательства аналогичен нахождению предела в дифференциальном исчислении. Попробуем объяснить идею предела в терминах парадокса Зенона. Если мы разделим расстояние, которое мы прошли, пересекая комнату, на время, которое мы на это потратили, мы получим среднюю скорость прохождения этого интервала. Но хотя и расстояние, и время уменьшаются (и в конечном счете стремятся к нулю), их отношение может быть конечным — собственно, это и есть скорость вашего движения. Когда и расстояние, и время стремятся к нулю, это отношение называется пределом скорости. В своем парадоксе Зенон ошибочно исходит из того, что, когда расстояние стремится к нулю, время остается прежним.

[aze1959]

Опровержение парадокса.
 Какой точно сформулированный вопрос? Может ли перегнать Ахилл черепаху (за неограниченное время и расстояние)? А ответ на какой вопрос сформулировал Зенон? Может ли Ахилл перегнать черепаху за ограниченное время и расстояние (ибо предел функции в этой задаче конечное число! то есть ограничение!)? вопросы разные? естественно! и ответ на второй вопрос некорректно выдавать за ответ на первый вопрос. ну и откуда парадокс???

[Царев Владимир]

На самом деле никакого парадокса нет.
В постановке задачи в неявном виде содержится не только ограничение по расстоянию, но и по времени. Пределом является время, когда Ахилл поравняется с черепахой. А поскольку по условию задачи Ахилл не достигает этого времени обгона, то и поравняться (а тем более обогнать) черепаху он не может (в рамках поставленной задачи).

На самом деле задача стоит примерно так: может ли Ахилл догнать черепаху за 5минут? При этом заведомо известно, что он может это сделать только за 5,00000...0001 минуты.

[aze1959]

Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

большинство кто прочитает сразу же не особо думая задаются вопросом: какой то парадокс получается! Ахилл же обгонит черепаху! а по условию сможет только догнать (ответят те кто знает пределы в высшей математике)
а на самом деле парадокса нет никакого.

Ахилл догонит и обгонит черепаху

Это ответ на какую задачу?

Формулирую: Ахилл имеет большую скорость чем черепаха, но она стартовала несколько раньше.
Догонит и перегонит Ахилл черепаху или нет?

а какая задача сформулирована автором? 

Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

ЗАДАЧИ РАЗНЫЕ ИЛИ ОДИНАКОВЫЕ? РАЗНЫЕ!
Первая (мною сформулированная) без ограничений по времени и расстоянию
Вторая (авторская) с ограничениями по времени и расстоянию
А если разные задачи то можно ответ на одну задачу менять ответом на другую задачу? без дополнительного анализа? нет!
тогда откуда парадокс???

ну а авторская задача имеет два варианта решения
А) если мир бесконечно делим то Ахилл догонит черепаху
А) если мир бесконечно не делим то Ахилл не догонит черепаху
ибо для этого случая предел бесконечной геометрической прогрессии приводит к равенству расстояния Ахилла и черепахи
а предел конечной геометрической прогрессии не приводит к равенству расстояния Ахилла и черепахи